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Autre Publication Scientifique Au fil des maths Année : 2018

Mathématiques à/en portée

Résumé

Quelques considérations sur les mathématiques de la musique et la musicalité des mathématiques
Le langage mathématique et le langage musical ont de particulier que les mots, les signes, les symboles, n'y désignent pas seulement des objets : ils les incarnent [1]. Mieux : mathématiques et musique se parlent et se comprennent, au point que leur dialogue fut souvent fructueux : l'étude méthodique du monocorde, attribuée à Pythagore ; la pratique, en amateur, de la guitare par Zorn ; l'usage des probabilités par Xénakis ; l'emploi des transformations géométriques par Bach en sont autant d'exemples. Et si les deux disciplines ont leur grammaire, axiomes et théorèmes dans un cas, solfège et harmonie dans l'autre, elles ne se renouvellent que parce qu'elles savent perpétuellement réinventer et dépasser leurs règles. En voici un aperçu, à la portée du collégien. Par Karim Zayana, inspecteur général, professeur invité à Télécom Paristech.. La portée mathématique du langage musical Quand on lit de la musique, on fait déjà, sans le savoir des mathématiques. Une portée, c'est un axe horizontal-axe des temps, et un axe vertical-axe des notes, lesquelles notes sont indissociablement liées à des fréquences, et donc des nombres. Ajoutons une origine, marquée par la clé qui sert de référence, figure 1. Petit raffinement : l'axe vertical n'est, en vérité, pas gradué linéairement mais logarithmiquement. Quand on franchit un barreau, du DO au RÉ par exemple, on multiplie en fait la fréquence par à peu près 9 8 ⁄. Et quand on passe d'un MI au FA, on la multiplie à peu près par la racine carrée de ce nombre, √ 9 8 ⁄ = 3 2√2 ⁄. Autre fait remarquable : nous venons de décrire ce qui s'apparente à la représentation graphique d'une fonction telle que nous la rencontrons communément aujourd'hui. En cela, la musique avait quelques siècles d'avance sur les mathématiques, qui n'ont adopté ce mode d'explicitation qu'au XVII e siècle. Une portée musicale, nous l'avons dit, c'est un repère. Et la géométrie s'invite dès lors spontanément. On va reconnaître, sur certaines partitions, les effets de transformations du plan : translations et symétries ou association des deux. La translation horizontale traduit un décalage temporel, qu'on retrouve dans l'écriture du canon. La translation verticale est, elle, plus ou moins une transposition, c'est-à-dire que l'on Figure 1 Figure 2
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Dates et versions

hal-02931319 , version 1 (07-09-2020)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02931319 , version 1

Citer

Karim Zayana. Mathématiques à/en portée. 2018. ⟨hal-02931319⟩
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